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2019年4月9日

在比较两个方差齐性一致组的均值时,求解t值的算式有两种。分别是:

\((1) t=\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\)

 

\((2) t=\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{\sqrt{\frac{\sum{X_1}^2-\frac{(\sum{X_1})^2}{n_1}+\sum{X_2}^2-\frac{(\sum{X_2})^2}{n_2}}{n_1+n_2-2}(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\)

二者其实是一样的。转化过程一样,我们只需要证明\(\sum{X}^2-\frac{(\sum{X})^2}{n}=(n-1)S^2\)即可。过程如下:

\((n-1)S^2=(n-1)\frac{\sum{(X-\bar{X})^2}}{n-1}=\sum{(X-\bar{X})}^2\) \(=\sum{(\frac{nX-\sum{X}}{n})^2}\)

进而

\(=\sum{(\frac{n^2X^2+(\sum{X})^2-2nX\sum{X}{n^2}}{n^2})}\) \(=\sum{X^2+(\frac{(\sum{X})^2-2nX\sum{X}{n^2}}{n^2})}\) \(=\sum{X}^2+\frac{(\sum{X})^2-2n(\sum{X})^2}{n^2}=\sum{X}^2-\frac{(\sum{X})^2}{n}\)
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